行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式等于零可以得出结论
|A|=0，可得：
1、A的行向量线性相关；
2、A的列向量线性相关；
3、方程组Ax=0有非零解；
4、A的秩小于n。（n是A的阶数）
5、A不可逆
矩阵的行列式等于和不等于0
|A|≠0
A可逆(又非奇异)
存在同阶方阵B满足AB=E(或BA=E)
R(A)=n
A的列(行)向量组线性无关
AX=0 仅有零解
AX=b 有唯一解
任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
A可表示成初等矩阵的乘积
A的等价标准形是单位矩阵
A的行最简形是单位矩阵
A的特征值都不等于0.
A^TA是正定矩阵.