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概率与统计
考试内容：抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计．
考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布．（3）会用样本估计总体期望值和方差．
概率与统计知识要点
一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则 
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量， 
是连续函数或单调函数，则 
也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为： 
ξ取每一个值 
的概率 
，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
 |  |  | … |  | … |
| p |  |  | … |  | … |
有性质① 
； ② 
.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 
即 
可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是： 
[其中 
]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 
～B（n·p），其中n，p为参数，并记 
.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：“ 
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为 
，事A不发生记为 
，那么 
.根据相互独立事件的概率乘法分式： 
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
| | 1 | 2 | 3 | … | k | … |
| p | q | qp |  | … |  | … |
我们称ξ服从几何分布，并记 
，其中 
5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取 
件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为 
.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定 
＜ 
时 
，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为 
.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 
的分布列可如下求得：把 
个产品编号，则抽取n次共有 
个可能结果，等可能： 
含 
个结果，故 
，即 
～ 
.[我们先为k个次品选定位置，共 
种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， 
，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
| | | | … | | … |
| p | | | … | | … |
则称 
为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量 
的数学期望： 
①当 
时， 
，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当 
时， 
，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当 
时， 
，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
| ξ | 0 | 1 |
| p | q | p |
⑵单点分布： 
其分布列为： 
.
⑶两点分布： 
，其分布列为：（p+q=1）
⑷二项分布： 
其分布列为 
～ 
.（p为发生 
的概率）
⑸几何分布： 
其分布列为 ～ 
.（p为发生 的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为 
时，则称 
为ξ的方差.显然 
，故 
为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 
越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量 
的方差 
.（a、b均为常数）
| ξ | 0 | 1 |
| p | q | p |
⑵单点分布： 
其分布列为 
⑶两点分布： 
其分布列为：（p+q=1）
⑷二项分布： 
⑸几何分布： 
5.期望与方差的关系.
⑴如果 
和 
都存在，则 
⑵设ξ和 
是互相独立的两个随机变量，则 
⑶期望与方差的转化： 
⑷ 
（因为 
为一常数） 
.
三、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间 
内的概率等于它与x轴.直线 
与直线 
所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数 
叫做ξ的密度函数，由于“ 
”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为： 
.（ 
为常数，且 
），称ξ服从参数为 
的正态分布，用 
～ 
表示. 的表达式可简记为 
，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若 ～ ，则ξ的期望与方差分别为： 
.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线 
对称.
③当 
时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当 
＜ 
时，曲线上升；当 
＞ 
时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当 
一定时，曲线的形状由 
确定， 
越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3.⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 
，则称ξ服从标准正态分布.即 
～ 
有 
， 
求出，而p（a＜ 
≤b）的计算则是 
.
注意：当标准正态分布的 
的X取0时，有 
当 的X取大于0的数时，有 
.比如 
则 
必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ 则ξ的分布函数通
常用 
表示，且有 
.
4.⑴“3 ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 
.②确定一次试验中的取值 
是否落入范围 
.③做出判断：如果 
，接受统计假设.如果 
，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布 则ξ落在 
内的概率为99.7％亦即落在 之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
四、统计与统计案例
