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高中数学函数知识点归纳
、映射、函数、反函数
1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有 区别 ，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.
2、 对于 函数的概念，应注意如下几点：
掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.
掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.
如果 y=f，u=g， 那么 y=f[g]叫做f和g的复合函数，其中g为内函数，f为外函数.
3、求函数y=f的反函数的一般步骤：
确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;
由y=f的解析式求出x=f-1;
将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1，并注明定义域.
注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.
②熟悉的应用，求f-1的值，合理利用 这个 结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.
、函数的解析式与定义域
1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：
有时一个函数来 自 于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;
已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：
①分式的分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零;
③对数函数的真数必须大于零;
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤ 三角函数 中的 正切 函数y=tanx，余切函数y=cotx等.
应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分.
已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.
已知f的定义域是[a，b]，求f[g]的定义域是指满足a≤g≤b的x的取值范围，而已知f[g]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f的定义域，即g的值域.
2、求函数的解析式一般有四种情况
根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数 学的 有关知识寻求函数的解析式.
有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f=ax+b，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.
若题设给出复合函数f[g]的表达式时，可用换元法求函数f的表达式，这时必须求出g的值域，这相当于求函数的定义域.
若已知f满足某个 等式 ，这个等式除f是未知量外，还出现其他未知量，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f的表达式.
、函数的值域与最值
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：
直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.
换元法：运用 代数式 或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.
反函数法：利用函数f与其反函数f-1的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如的函数值域可采用此法求得.
配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.
不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.
判别式法：把y=f变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.
利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.
数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小数，这个数就是函数的最小值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.
如函数的值域是，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“ 工程造价 最低 ”，“利润最大”或“面积最大”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.
、函数的奇偶性
1、函数的奇偶性的定义：对于函数f，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f=-f=f)，那么函数f就叫做奇函数.
正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：定义域在数轴上关于原点对称是函数f为奇函数或偶函数的必要不充分条件;f=-f或f=f是定义域上的恒等式..
2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：
注意如下结论的运用：
不论f是奇函数还是偶函数，f总是偶函数;
f、g分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f+g是奇函数，f·g是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;
奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
3、有关奇偶性的几个性质及结论
一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.
若奇函数f在x=0处有意义，则f=0成立.
若f是具有奇偶性的区间单调函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性是相同的。
若f的定义域关于原点对称，则F=f+f是偶函数，G=f-f是奇函数.
奇偶性的推广
函数y=f对定义域内的任一x都有f=f，则y=f的图象关于直线x=a对称，即y=f为偶函数.函数y=f对定义域内的任-x都有f=-f，则y=f的图象关于点成中心对称图形，即y=f为奇函数。
拓展阅读： 初 中所有函数知识点总结
1、一次函数
2、二次函数
3、反比例函数
4、正比例函数
1、正比例函数的求法
形如y=kx，y就叫做x的正比例函数.
图象做法:1.带定系数 2.描点 3.连线
图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点
性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大
当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小
形如 y=k/x 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2、反比例函数求法
反比例函数的图像为双曲线。它可以无限地接近坐标轴,但永不相交.
性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,
当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大
形如y=kx+b，y就叫做x的正比例函数。
3、一次函数求法
正比例函数过原点，属于一次函数
k>0,b>O,则图象过1,2,3象限
k>0,b<0,则图象过1,3,4象限
k<0,b>0,则图象过1,2,4象限
k<0,b<0,则图象过2,3,4象限
4、二次函数求法
二次函数：y=ax^2+bx+c
a>0开口向上
a<0开口向下
a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧
|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|
与y轴交点为
b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根
b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根
b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根
对称轴x=-b/2a
顶点/4a)
顶点式y=a^2+/4a
函数向左移动d个单位，解析式为y=a^2+/4a,向右就是减
函数向上移动d个单位，解析式为y=a^2+/4a+d,向下就是减
当a>0时，开口向上，抛物线在y轴的上方，并向上无限延伸;当a<0时，开口向下，抛物线在x轴下方，并向下无限延伸。|a|越大，开口越小;|a|越小，开口越大.
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