参考公式：锥体的体积公式 
，其中 
是锥体的底面积， 
是锥体的高．
如果事件 
、 
互斥，那么 
．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式， 
， 
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 
是虚数单位， 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
2、函数 
的定义域为实数集 
，“ 是奇函数”是“ 
是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
3、 
是等差数列， 
与 
的等差中项为1， 
与 
的等差中项为2，则公差 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
4、函数 
在区间 
上单调递增，常数 
的值可能是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
5、双曲线 
： 
的两条渐近线夹角（锐角）为 
，则 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
6、一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1
的等腰直角三角形，则它的体积 
（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
7、 
的二项展开式17个项中，整式的个数是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
8、设 
，集合 
， 
，记“从集合 
中任取一个元素 
， 
”为事件 
，“从集合 中任取一个元素 
， 
”为事件 
．给定下列三个命题：
①当 
， 
时， 
；
②若 
，则 
， 
；
③ 
恒成立．
其中，为真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题（9～13题）
9．不等式 
的解集为 ．
10．已知抛物线 ： 
的焦点为 
， 
是 上一点，若 
在第一象限， 
，
则点 的坐标为 ．
11．若变量 
、 
满足约束条件 
，则 
的最大值 
．
12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果 
．
13．已知 
与 
之间的几组数据如下表：
| | 3 | 4 | 5 | 6 |
| | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
假设根据上表数据所得线性回归方程为 
，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为 
，则 
， 
．（填“ 
”或“ 
”）
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 
上到直线 
的距离为1的点的个数是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 
的弦 
、 
相交于点 
，若 
， 
，则 
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知 
顶点的直角坐标分别是 
、 
、 
．
⑴求 
的值；
⑵若 
，证明： 
、 
、 
三点共线．
17．（本小题满分13分）
某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位： 
），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
| 组距 | 频数 | 频率 |
| [100，102) | 17 | 0.17 |
| [102，104) | 18 | 0.18 |
| [104，106) | 24 | 0.24 |
| [106，108) |  |  |
| [108，110) | 6 | 0.06 |
| [110，112) | 3 | 0.03 |
| 合计 | 100 | 1 |
⑴求上表中 、 的值；
⑵估计该基地榕树树苗平均高度；
⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有 
株，求 
的分布列和期望．
18．（本小题满分14分）
设数列 的前 
项和 
， 
．
⑴求 的值；
⑵求数列 的通项公式；
⑶证明：对一切正整数 
，有 
．
19．（本小题满分13分）
如图4，直四棱柱 
的底面是菱形，侧面是正方形， 
， 
是棱 
的延长线上一点，经过点 
、 
、 
的平面交棱 
于点 
， 
．
⑴求证：平面 
平面 
；
⑵求二面角 
的平面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
平面直角坐标系 
中，椭圆 
： 
（ 
）的离心率为 
，焦点为 
、 
，
直线 
： 
经过焦点 
，并与 
相交于 
、 
两点．
⑴求 的方程；
⑵在 上是否存在 
、 
两点，满足 
， 
？若存在，求直线 
的方程；
若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数 
， 
是自然对数的底数， 
， 
为常数．
⑴若 
在 
处的切线 
的斜率为 
，求 
的值；
⑵在⑴的条件下，证明切线 与曲线 在区间 
至少有1个公共点；
⑶若 
是 的一个单调区间，求 的取值范围．
评分参考答案
一、选择题 BACD DCBB
二、填空题 ⒐ 
或 
（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）
⒑ 
（若写成 
或 
给3分，其他不给分）
⒒ 
⒓ 
⒔ ， （若两空一对一错，给3分） ⒕ 
⒖ 
三、解答题
⒗⑴（方法一） 
， 
， 
……3分
……6分（公式2分）
（方法二） 
， 
……2分
……6分（公式2分）
⑵（方法一） ， 
……9分
∵ 
，∴ 
、 
共线……11分
∵ 
、 
有共同的始点，∴ 、 、 三点共线……12分
（方法二）经过 、 两点的直线 
的方程为
（即 
）……9分
设 
，由 得 
……10分
解得 
……11分
∵ 
（或 
），∴( 在 
上) 、 、 三点共线……12分
⒘⑴ 
， 
……2分
⑵估计该基地榕树树苗平均高度为
( )……6分
（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）
⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此 
的所有可能取值为0，1，2，3……7分
， 
，
， 
……11分
 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 |  |  |  |  |
的分布列为
……12分
的期望为 
……13分（列式正确1分）
⒙⑴ 
……1分
⑵ 
时， 
……4分（上式每个等号1分）
时， 
，所以 
， 
……5分
⑶由⑵知， 时， 
……7分
……9分
……11分
……12分， 
……13分
∵ 
单调递增，∴ ， ……14分
⒚⑴设四棱柱 的棱长为 
∵ ， 
∽ 
，∴ 
……1分
由 
， 
，得 
， 
……2分
∵ 
，∴ 
， 
……3分
是直四棱柱， 
，又 
，∴ 
，∵ 
，∴ 
平面 ……4分
∵ 
平面 
，∴平面 平面 ……5分
⑵（方法一）过 
作 
于 
， 
于 
，连接 
……6分
由平面 平面 ，平面 
平面 
，
平面 ……7分
∴ 
，又 ， 
，∴ 
平面 
， 
， 
是二面角 的平面角……9分
在 
中， ， 
， 
， 
，在 
中， 
， ， 
， 
（ 
、 求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
， 
……13分
（方法二）以 为原点， 
、 
所在直线为 
轴、 
轴，平行于 的直线 
为 
轴建立空间直角坐标系……6分，则
， 
， 
……7分
设平面 
的一个法向量为 
，则 
……9分，即 
，不妨取 
……10分，由⑴知 
， 
……11分，平面 
的一个法向量为 
……12分，二面角 的平面角的余弦值 
……13分
⒛⑴依题意 
， 
……2分，由 
得 
……3分
，椭圆 的方程为 
……4分
⑵（方法一）若存在满足条件的直线 ，∵ ，∴ 
，设直线 的方程为 
……5分
由 
……6分，得 
……7分
， 
（*）
……8分
设 
， 
，则 
， 
……9分
由已知 ，若线段 的中点为 
，则 
， 
……10分
， 
即 
……11分
由 
……12分，解得 
……13分
时， 
，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线
……14分
（方法二）假设存在 
， 
，线段 的中点为 
，则 
， 
……5分
由 
两式相减得： 
……7分，代入、化简得： 
①……8分
由已知 ，则 ， ……9分
由 
得， 
②……10分
由①②解得 
，即 
……11分
直线CD的方程为： 
……12分
联立 
得 
……13分
∵ 
，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线
……14分
21．⑴ 
……1分
依题意， 
，解得 
……2分
⑵由⑴ 
，直线 的方程为 
，即 
……3分
作 
，
则 
……4分， 
……5分（用其他适当的数替代 
亦可）
因为 
在 
上是连续不断的曲线， 
， 在 内有零点， 
，从而切线 与曲线 在区间 至少有1个公共点……6分
⑶ 
， 是 的一个单调区间当且仅当 
在 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由 
，作 
，由 
得 
……7分
 |  |  |  |
 | － | 0 | + |
 | ↘ | 最小值 | ↗ |
……9分
在 上的最小值为 
，所以，当且仅当 
时， 
在 上单调递增……11分
下面比较 
与 
的大小
（方法一）由 
， 
， 
以及 在 上单调递减得 
……12分
……13分
，
∴ 
，当且仅当 
时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 
……14分
（方法二）由 
， 
，以及 的单调性知， 
……12分
由 
知， 
单调递减……13分
由 
得 
， 
， 
，∴ ，当且仅当 时， 在 上单调递减，综上所述， 的取值范围为 ……14分
（“单调递增……11分”以下，若直接写 
，再给1分）
